Математика, сверхпроводимость и квантовые компьютеры

Российские ученые Алексей Глуцюк (НИУ ВШЭ) и Игорь Нетай (научно-производственная компания «Криптонит») достигли значительного прогресса в математическом описании эффекта Джозефсона, играющего важную роль в сверхпроводниковой электронике и, в частности, в квантовых компьютерах. Работу ученых принял к публикации Journal of Dynamical and Control Systems, препринт статьи доступен на сайте arXiv.org, кратко о результатах рассказывается в пресс-релизе НТК «Криптонит».

В 1962 году Дэвиду Брайану Джозефсону, недавнему выпускнику кембриджского Тринити-колледжа, было всего 22 года. Еще студентом он сумел привлечь к себе внимание коллег исследованием ядерного гамма-резонанса, а также непризнанием авторитетов («Если у вас в лекции окажется неточность или ошибка, он обязательно вам об этом сообщит», — вспоминал один из преподавателей). Джозефсон работал под руководством Брайана Пиппарда в Кавендишской лаборатории Кембриджского университета над диссертацией под названием «Нелинейная проводимость в сверхпроводниках».

Именно с этой темой связано достижение, благодаря которому Джозефсон вошел в историю физики. Он теоретически предсказал, что через тонкий слой диэлектрика, лежащий между двумя сверхпроводниками, будет протекать электрический ток. Объясняется это тем, что электроны проходят через диэлектрик без сопротивления благодаря туннельному эффекту. Расчеты Джозефсона были опубликованы 1 июля 1962 года в журнале Physics Letters в статье, озаглавленной «Возможные новые эффекты в сверхпроводящем туннелировании».

С утверждением Джозефсона согласились далеко не все. Знаменитый американский физик Джон Бардин, лауреат Нобелевской премии по физике 1956 года (и позже получивший ее вторично в 1972), отправил в Physical Review Letters возражение против работы Джозефсона, где утверждал, что предсказанное им явление невозможно. Личная дискуссия между учеными произошла в сентябре того же года в лондонском Колледже королевы Марии на Восьмой международной конференции по физике низких температур. Джозефсон, в свойственной ему манере, встал и прервал только что начавшуюся речь Бардина своим возражением. Впрочем, по воспоминаниям очевидцев, обмен мнениями прошел в цивилизованном и спокойном стиле.

Но вскоре предсказание Джозефсона было подтверждено экспериментально Филиппом Андерсоном и Джоном Роуэллом из Bell Labs в Принстоне, опубликовавшими в январе 1963 года в Physical Review Letters статью «Вероятное наблюдение сверхпроводящего туннельного эффекта Джозефсона». С тех пор название «эффект Джозефсона» закрепилось, а контакты вида сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник стали называть «джозефсоновскими контактами». В 1973 году Брайан Джозефсон стал лауреатом Нобелевской премии по физике, разделив ее с физиками-экспериментаторами Лео Эсаки и Айваром Джайевером, обнаружившими туннелирование в проводниках и сверхпроводниках.

Открытие эффекта Джозефсона привело к созданию СКВИДов (Superconducting Quantum Interference Device, сверхпроводящих квантовых интерферометров). Принцип их работы основан на высокой чувствительности тока в джозефсоновских контактах к изменениям внешнего магнитного поля. Фактически эти устройства представляют собой сверхчувствительные магнитометры. СКВИДы используются для высокоточных измерений в геологии и медицине. Ну, а в произведениях фантастов применение СКВИДов дает и вовсе поразительные эффекты, позволяя читать мысли и записывать воспоминания на внешний носитель. В реальной жизни СКВИДы для этого не годятся, по крайней мере, сейчас. Но они уже с успехом применяются в вычислительной технике. Еще в 1980 году компания IBM смоделировала прототип компьютера на основе джозефсоновских контактов, который был бы в 100 раз быстрее, чем IBM 3033. В конце 1980-х в Японии был создан экспериментальный процессор с использованием эффекта Джозефсона.

Сейчас СКВИДы применяются в экспериментальных квантовых компьютерах. В них особенности джозефсоновских контактов используются для управления кубитом и считывания его состояния. В 2015 году первые кубиты на джозефсоновских контактах были созданы и в России (МФТИ и Российским квантовым центром).

В работе Джозефсона параметры контакта описывались при помощи двупараметрического семейства обыкновенных дифференциальных уравнений на двумерном торе («растянутой» двумерной поверхности трехмерного «бублика»). Но исходные джозефсоновские уравнения не имеют явных решений, по крайней мере таких, которые можно было бы записать с помощью элементарных функций. Поэтому в такой модели сложно описать и предсказать целый ряд свойств, которые наблюдаются у джозефсоновских контактов на практике. Соответственно, не имея таких явных решений, труднее и строить на основе подобных контактов квантовые компьютеры с предсказуемым поведением составляющих их когерентных кубитов.

Для решения этой проблемы Алексей Глуцюк и Игорь Нетай использовали ранее установленный в работах других математиков факт, что поведение джозефсоновских контактов и описывающее его уравнение Джозефсона можно свести к трехпараметрическому дважды конфлюэнтному уравнению Гойна. Ранее уже было показано, что для определенных значений исходных параметров в уравнениях Гойна конструируются явные решения, которые для базового уравнения Джозефсона отсутствуют. Но раз его можно свести к уравнению Гойна, то эти решения можно использовать и для исходного уравнения Джозефсона.

«При таком подходе, как и в других попытках математического поведения джозефсоновских контактов, исследуется динамическая система на торе, — объяснил Игорь Нетай, — у которой есть три параметра: A, B и ω. Последний в новой работе принимался за постоянную». После замены координат уравнение Гойна как раз и задает эту динамическую систему на торе. При этом физически интерпретируемой величиной остается число вращения динамической системы. При малых значениях ω (физически ей обычно соответствует джозефсоновская частота генерации, то есть интенсивность излучения фотонов джозефсоновским контактом, через который идет ток выше критического), можно перейти от базовой «гладкой» функции, описывающей поведение контакта без дискретизации, к функции, которая выглядит почти как кусочно-ступенчатая, с дискретизацией результата (числа вращения динамической системы). За счет этого можно дискретизировать сигнал с джозефсоновского контакта, что очень важно с практической точки зрения: дискретный сигнал легко измерить, а значит и понять стоящие за ним физические процессы.

Ранее в других работах было установлено существование так называемых языков Арнольда — геометрических областей фазового захвата, в которых число вращения динамической системы на торе, описывающей параметры джозефсоновских контактов, неизменно. Следует понимать, что область фазового захвата относится к пространству параметров математического описания джозефсоновских контактов. Тем не менее описание это имеет прямое отношение к поведению самих контактов.

Дело в том, что внутри каждого языка Арнольда, несмотря на изменения значений A и B, часть физических параметров поведения джозефсоновских контактов неизменна. А вот в пространстве между языками Арнольда эти физические параметры резко, скачкообразно изменяются. Как комментируют ситуацию сами авторы работы, было бы интересно знать границы этих областей фазового захвата.

Границы эти геометрически устроены довольно сложно. Игорь Нетай отмечает: «Если комплексифицировать [рассмотреть уравнение с комплексными коэффициентами] используемое для описания уравнение Гойна, то оказывается, что такие границы — это объединение всего четырех аналитических комплексных многообразий». Новая работа — первая, в которой удалось это выяснить, и в теории это заметно упрощает математическое представление границ языков Арнольда, что является довольно значимым результатом.

Другой важный итог работы — исследование семейств явных решений (полиномиальных решений) уравнения Гойна. Множество точек, которыми параметризуются решения уравнений Гойна, — это алгебраические кривые (множество нулей многочлена от двух переменных). Авторы работы смогли наложить ограничения на род алгебраических кривых, критически важных для вычисления явных решений уравнений Гойна, что значительно упростит математическое моделирование поведения джозефсоновских контактов с помощью этих уравнений.


Источник